| Pendaftaran Siswa
08222 333 1144 I 0812 1233 2163
Selamat Datang di Laskar UI!

Turunan Fungsi Aljabar: Pengertian, Aturan Dasar, dan Contohnya

Turunan Fungsi Aljabar: Pengertian, Aturan Dasar, dan Contohnya
Juli 3, 2024 laskarui
In News
aljabar fungsi

Turunan fungsi aljabar adalah salah satu konsep fundamental dalam kalkulus yang sering menjadi bagian penting dalam kurikulum Matematika SMA. Memahami turunan tidak hanya membantu dalam menyelesaikan soal-soal matematika tetapi juga dalam aplikasi praktis di berbagai bidang seperti fisika, ekonomi, dan teknik. Artikel ini akan menjelaskan dasar-dasar turunan fungsi aljabar, termasuk pengertian, aturan-aturan dasar, serta beberapa contoh soal dan penerapannya.

Pengertian Turunan

Turunan dari suatu fungsi pada titik tertentu menggambarkan laju perubahan fungsi tersebut pada titik tersebut. Dalam konteks geometris, turunan dari suatu fungsi pada suatu titik adalah kemiringan atau gradien garis singgung pada kurva fungsi tersebut di titik tersebut.

Secara matematis, jika f(x)f(x) adalah fungsi dari xx, maka turunan dari ff terhadap xx, dilambangkan sebagai f′(x)f'(x) atau dfdx\frac{df}{dx}, didefinisikan sebagai:

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) – f(x)}{h}

Definisi ini menunjukkan bagaimana f(x)f(x) berubah ketika xx mengalami perubahan kecil sebesar hh.

Aturan Dasar Turunan

Untuk memudahkan proses perhitungan turunan, terdapat beberapa aturan dasar yang sering digunakan dalam kalkulus. Berikut adalah beberapa aturan penting dalam menghitung turunan fungsi aljabar:

  1. Aturan Turunan Fungsi Konstan

    Jika cc adalah konstanta, maka turunan dari cc adalah nol:

    ddx(c)=0\frac{d}{dx} (c) = 0

  2. Aturan Turunan Fungsi Linear

    Jika f(x)=ax+bf(x) = ax + b, di mana aa dan bb adalah konstanta, maka:

    f′(x)=af'(x) = a

  3. Aturan Pangkat (Power Rule)

    Jika f(x)=xnf(x) = x^n, di mana nn adalah konstanta, maka:

    ddx(xn)=nxn−1\frac{d}{dx} (x^n) = nx^{n-1}

  4. Aturan Penjumlahan dan Pengurangan

    Jika f(x)=g(x)+h(x)f(x) = g(x) + h(x), maka turunan dari ff adalah:

    f′(x)=g′(x)+h′(x)f'(x) = g'(x) + h'(x)

    Begitu pula, untuk pengurangan:

    ddx[g(x)−h(x)]=g′(x)−h′(x)\frac{d}{dx} [g(x) – h(x)] = g'(x) – h'(x)

  5. Aturan Produk (Product Rule)

    Jika f(x)=g(x)⋅h(x)f(x) = g(x) \cdot h(x), maka:

    ddx[g(x)⋅h(x)]=g′(x)⋅h(x)+g(x)⋅h′(x)\frac{d}{dx} [g(x) \cdot h(x)] = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)

  6. Aturan Hasil Bagi (Quotient Rule)

    Jika f(x)=g(x)h(x)f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}, maka:

    ddx[g(x)h(x)]=g′(x)⋅h(x)−g(x)⋅h′(x)h(x)2\frac{d}{dx} \left[ \frac{g(x)}{h(x)} \right] = \frac{g'(x) \cdot h(x) – g(x) \cdot h'(x)}{h(x)^2}

  7. Aturan Rantai (Chain Rule)

    Jika f(x)=g(h(x))f(x) = g(h(x)), maka turunan dari ff adalah:

    ddx[g(h(x))]=g′(h(x))⋅h′(x)\frac{d}{dx} [g(h(x))] = g'(h(x)) \cdot h'(x)

Contoh Soal dan Penyelesaiannya

Mari kita lihat beberapa contoh soal turunan fungsi aljabar untuk memahami penerapan aturan-aturan di atas.

Contoh 1: Turunan Fungsi Polinomial

Tentukan turunan dari fungsi berikut:

f(x)=3×4−5×3+2x−7f(x) = 3x^4 – 5x^3 + 2x – 7

Penyelesaian:

Gunakan aturan pangkat dan aturan penjumlahan:

f′(x)=3⋅4×4−1−5⋅3×3−1+2⋅1×1−1f'(x) = 3 \cdot 4x^{4-1} – 5 \cdot 3x^{3-1} + 2 \cdot 1x^{1-1}

f′(x)=12×3−15×2+2f'(x) = 12x^3 – 15x^2 + 2

Jadi, turunan dari f(x)f(x) adalah:

f′(x)=12×3−15×2+2f'(x) = 12x^3 – 15x^2 + 2

Contoh 2: Turunan Fungsi Produk

Tentukan turunan dari fungsi berikut:

f(x)=(2×2+3x)(x2−1)f(x) = (2x^2 + 3x)(x^2 – 1)

Penyelesaian:

Gunakan aturan produk:

Misalkan g(x)=2×2+3xg(x) = 2x^2 + 3x dan h(x)=x2−1h(x) = x^2 – 1.

Turunan dari g(x)g(x) adalah:

g′(x)=4x+3g'(x) = 4x + 3

Turunan dari h(x)h(x) adalah:

h′(x)=2xh'(x) = 2x

Dengan aturan produk, kita dapatkan:

f′(x)=g′(x)⋅h(x)+g(x)⋅h′(x)f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)

f′(x)=(4x+3)(x2−1)+(2×2+3x)(2x)f'(x) = (4x + 3)(x^2 – 1) + (2x^2 + 3x)(2x)

Sederhanakan:

f′(x)=4×3−4x+3×2−3+4×3+6x2f'(x) = 4x^3 – 4x + 3x^2 – 3 + 4x^3 + 6x^2

Gabungkan suku-suku sejenis:

f′(x)=8×3+9×2−4x−3f'(x) = 8x^3 + 9x^2 – 4x – 3

Jadi, turunan dari f(x)f(x) adalah:

f′(x)=8×3+9×2−4x−3f'(x) = 8x^3 + 9x^2 – 4x – 3

Contoh 3: Turunan Fungsi Hasil Bagi

Tentukan turunan dari fungsi berikut:

f(x)=3×2−2x+4x−1f(x) = \frac{3x^2 – 2x + 4}{x – 1}

Penyelesaian:

Gunakan aturan hasil bagi:

Misalkan g(x)=3×2−2x+4g(x) = 3x^2 – 2x + 4 dan h(x)=x−1h(x) = x – 1.

Turunan dari g(x)g(x) adalah:

g′(x)=6x−2g'(x) = 6x – 2

Turunan dari h(x)h(x) adalah:

h′(x)=1h'(x) = 1

Dengan aturan hasil bagi, kita dapatkan:

f′(x)=g′(x)⋅h(x)−g(x)⋅h′(x)h(x)2f'(x) = \frac{g'(x) \cdot h(x) – g(x) \cdot h'(x)}{h(x)^2}

f′(x)=(6x−2)(x−1)−(3×2−2x+4)(x−1)2f'(x) = \frac{(6x – 2)(x – 1) – (3x^2 – 2x + 4)}{(x – 1)^2}

Sederhanakan pembilang:

f′(x)=6×2−6x−2x+2−3×2+2x−4(x−1)2f'(x) = \frac{6x^2 – 6x – 2x + 2 – 3x^2 + 2x – 4}{(x – 1)^2}

Gabungkan suku-suku sejenis:

f′(x)=3×2−6x−2(x−1)2f'(x) = \frac{3x^2 – 6x – 2}{(x – 1)^2}

Jadi, turunan dari f(x)f(x) adalah:

f′(x)=3×2−6x−2(x−1)2f'(x) = \frac{3x^2 – 6x – 2}{(x – 1)^2}

Penerapan Turunan dalam Kehidupan Sehari-hari

Turunan tidak hanya relevan dalam matematika teoritis tetapi juga memiliki banyak aplikasi praktis. Berikut beberapa contoh penerapan turunan dalam kehidupan sehari-hari:

  1. Fisik

    Dalam fisika, turunan digunakan untuk menentukan kecepatan dan percepatan. Misalnya, jika posisi s(t)s(t) dari suatu objek sebagai fungsi dari waktu tt diketahui, maka kecepatan v(t)v(t) adalah turunan dari posisi terhadap waktu, dan percepatan a(t)a(t) adalah turunan dari kecepatan terhadap waktu.

  2. Ekonomi

    Dalam ekonomi, turunan digunakan untuk menganalisis laju perubahan dari fungsi-fungsi seperti biaya, pendapatan, dan keuntungan. Misalnya, turunan dari fungsi biaya marjinal dapat membantu perusahaan menentukan seberapa besar biaya tambahan yang akan dikeluarkan untuk memproduksi satu unit tambahan.

  3. Teknik

    Dalam teknik, turunan digunakan untuk menganalisis sistem dan menentukan bagaimana perubahan dalam satu variabel mempengaruhi sistem secara keseluruhan. Misalnya, dalam analisis rangkaian listrik, turunan digunakan untuk menentukan respons sistem terhadap perubahan dalam tegangan atau arus.

Turunan fungsi aljabar adalah konsep penting dalam matematika yang memiliki banyak aplikasi praktis dalam berbagai bidang. Dengan memahami aturan-aturan dasar dan bagaimana menerapkannya, siswa dapat mengembangkan kemampuan untuk menganalisis dan memecahkan berbagai masalah yang melibatkan laju perubahan. Semoga artikel ini memberikan pemahaman yang lebih baik tentang turunan fungsi aljabar dan membantu Anda dalam belajar matematika di tingkat SMA.

Baca Juga  Makna Hari Demokrasi Internasional, Perspektif Hari Demokrasi & Sejarahnya

Comments (0)

Leave a reply

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *

*

Balas Chat
1
Hi, Laskar UI di sini. Bisa dibantu?
Hi, Laskar UI di sini. Bisa dibantu?